【算法】迭代法求方程的根

以下是引用片段：
　　{x0=初始近似根;
　　do{
　　x1=x0;
　　x0=g(x1);/*按特定的方程计算新的近似根*/
　　}while(fabs(x0-x1)>Epsilon);
　　printf(“方程的近似根是%f
”，x0);
　　}

　　迭代算法也常用于求方程组的根，令

　　X=(x0，x1，…，xn-1)

　　设方程组为：

　　xi=gi(X) (I=0，1，…，n-1)

　　则求方程组根的迭代算法可描述如下：

　　【算法】迭代法求方程组的根

以下是引用片段：
　　{for(i=0;i
　　x=初始近似根;
　　do{
　　for(i=0;i
　　y=x;
　　for(i=0;i
　　x=gi(X);
　　for(delta=0.0,i=0;i
　　if(fabs(y-x)>delta)delta=fabs(y-x);
　　}while(delta>Epsilon);
　　for(i=0;i
　　printf(“变量x[%d]的近似根是%f”，I，x);
　　printf(“
”);
　　}

　　具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况：

　　(1) 如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循环，因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在程序中对迭代的次数给予限制;

　　(2) 方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也会导致迭代失败。

　　递归

　　递归是设计和描述算法的一种有力的工具，由于它在复杂算法的描述中被经常采用，为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。

　　能采用递归描述的算法通常有这样的特征：为求解规模为N的问题，设法将它分解成规模较小的问题，然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解，并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法，分解成规模更小的问题，并从这些更小问题的解构造出规模较大问题的解。特别地，当规模N=1时，能直接得解。

　　【问题】 编写计算斐波那契(Fibonacci)数列的第n项函数fib(n)。

　　斐波那契数列为：0、1、1、2、3、……，即：

以下是引用片段：
　　fib(0)=0;
　　fib(1)=1;
　　fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2)(当n>1时)。

　　写成递归函数有：

以下是引用片段：
　　intfib(intn)
　　{if(n==0)return0;
　　if(n==1)return1;
　　if(n>1)returnfib(n-1)+fib(n-2);
　　}

　　递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。在递推阶段，把较复杂的问题(规模为n)的求解推到比原问题简单一些的问题(规模小于n)的求解。例如上例中，求解fib(n)，把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是说，为计算fib(n)，必须先计算fib(n-1)和fib(n- 2)，而计算fib(n-1)和fib(n-2)，又必须先计算fib(n-3)和fib(n-4)。依次类推，直至计算fib(1)和fib(0)，分别能立即得到结果1和0。在递推阶段，必须要有终止递归的情况。例如在函数fib中，当n为1和0的情况。

　　在回归阶段，当获得最简单情况的解后，逐级返回，依次得到稍复杂问题的解，例如得到fib(1)和fib(0)后，返回得到fib(2)的结果，……，在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的结果后，返回得到fib(n)的结果。

　　在编写递归函数时要注意，函数中的局部变量和参数知识局限于当前调用层，当递推进入“简单问题”层时，原来层次上的参数和局部变量便被隐蔽起来。在一系列“简单问题”层，它们各有自己的参数和局部变量。

　　由于递归引起一系列的函数调用，并且可能会有一系列的重复计算，递归算法的执行效率相对较低。当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时，通常按递推算法编写程序。例如上例计算斐波那契数列的第n项的函数fib(n)应采用递推算法，即从斐波那契数列的前两项出发，逐次由前两项计算出下一项，直至计算出要求的第n项。

　　【问题】 组合问题

　　问题描述：找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。例如n=5，r=3的所有组合为： (1)5、4、3 (2)5、4、2 (3)5、4、1

　　(4)5、3、2 (5)5、3、1 (6)5、2、1

　　(7)4、3、2 (8)4、3、1 (9)4、2、1

　　(10)3、2、1

　　分析所列的10个组合，可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。设函数为void comb(int m,int k)为找出从自然数1、2、……、m中任取k个数的所有组合。当组合的第一个数字选定时，其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。这就将求m 个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。设函数引入工作数组a[ ]存放求出的组合的数字，约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在a[k]中，当一个组合求出后，才将a[ ]中的一个组合输出。第一个数可以是m、m-1、……、k，函数将确定组合的第一个数字放入数组后，有两种可能的选择，因还未去顶组合的其余元素，继续递归去确定;或因已确定了组合的全部元素，输出这个组合。细节见以下程序中的函数comb。

　　【程序】

以下是引用片段：
　　#include
　　#defineMAXN100
　　inta[MAXN];
　　voidcomb(intm,intk)
　　{inti,j;
　　for(i=m;i>=k;i--)
　　{a[k]=i;
　　if(k>1)
　　comb(i-1,k-1);
　　else
　　{for(j=a[0];j>0;j--)
　　printf(“%4d”,a[j]);
　　printf(“
”);
　　}
　　}
　　}
　　voidmain()
　　{a[0]=3;
　　comb(5,3);
　　}

　　【问题】 背包问题

　　问题描述：有不同价值、不同重量的物品n件，求从这n件物品中选取一部分物品的选择方案，使选中物品的总重量不超过指定的限制重量，但选中物品的价值之和最大。

　　设n 件物品的重量分别为w0、w1、…、wn-1，物品的价值分别为v0、v1、…、vn-1。采用递归寻找物品的选择方案。设前面已有了多种选择的方案，并保留了其中总价值最大的方案于数组option[ ]，该方案的总价值存于变量maxv。当前正在考察新方案，其物品选择情况保存于数组cop[ ]。假定当前方案已考虑了前i-1件物品，现在要考虑第i件物品;当前方案已包含的物品的重量之和为tw;至此，若其余物品都选择是可能的话，本方案能达到的总价值的期望值为tv。算法引入tv是当一旦当前方案的总价值的期望值也小于前面方案的总价值maxv时，继续考察当前方案变成无意义的工作，应终止当前方案，立即去考察下一个方案。因为当方案的总价值不比maxv大时，该方案不会被再考察，这同时保证函数后找到的方案一定会比前面的方案更好。

　　对于第i件物品的选择考虑有两种可能：

　　(1) 考虑物品i被选择，这种可能性仅当包含它不会超过方案总重量限制时才是可行的。选中后，继续递归去考虑其余物品的选择。

　　(2) 考虑物品i不被选择，这种可能性仅当不包含物品i也有可能会找到价值更大的方案的情况。

　　按以上思想写出递归算法如下：